Math Gym

複素数平面（極形式）の計算問題

複素数を極形式に変換する（4択）

この単元のポイント

公式と考え方

複素数 z=a+biz=a+bi は，複素数平面上の点 (a, b)(a,\ b) に対応します。原点からの距離 r=∣z∣r=|z| と，偏角 θ=arg⁡z\theta=\arg z で表した形を，極形式といいます。

  • z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z=r(\cos\theta+i\sin\theta) が極形式です。r=a2+b2r=\sqrt{a^2+b^2} です。
  • 偏角 θ\theta は，cos⁡θ=ar\cos\theta=\dfrac{a}{r}，sin⁡θ=br\sin\theta=\dfrac{b}{r} を満たす角です。
  • どの象限にあるか，確かめて，偏角を決めます。
例題と解き方

z=1+iz=1+i を極形式で表しなさい。

  1. r=1+1=2r=\sqrt{1+1}=\sqrt{2} で，cos⁡θ=sin⁡θ=12\cos\theta=\sin\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}} より，θ=π4\theta=\dfrac{\pi}{4} です。
  2. z=2(cos⁡π4+isin⁡π4)z=\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right) です。

z=−3+iz=-\sqrt{3}+i を極形式で表しなさい。

  1. r=3+1=2r=\sqrt{3+1}=2 で，cos⁡θ=−32\cos\theta=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}，sin⁡θ=12\sin\theta=\dfrac{1}{2} より，θ=5π6\theta=\dfrac{5\pi}{6} です。
  2. z=2(cos⁡5π6+isin⁡5π6)z=2\left(\cos\dfrac{5\pi}{6}+i\sin\dfrac{5\pi}{6}\right) です。
よくある間違い
  • 象限を考えずに，tan⁡θ=ba\tan\theta=\dfrac{b}{a} だけで偏角を決めて，π\pi だけずれる。
  • rr を，a+ba+b にしてしまう。r=a2+b2r=\sqrt{a^2+b^2} です。

同じ章のほかの単元