複素数平面（ド・モアブルの定理）の計算問題

ド・モアブルの定理を使った計算（4択）

この単元のポイント

公式と考え方

ド・モアブルの定理を使うと，極形式の複素数の累乗が，簡単に計算できます。

$\{r(\cos\theta+i\sin\theta)\}^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$ です。
絶対値は $n$ 乗，偏角は $n$ 倍になります。
$(a+bi)^n$ は，まず極形式に直してから，この定理を使います。

例題と解き方

$(1+i)^8$ を計算しなさい。

$1+i=\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$ です。
$(\sqrt{2})^8(\cos 2\pi+i\sin 2\pi)=16$ です。

$\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)^3$ を計算しなさい。

偏角が3倍になります。 $\cos\dfrac{\pi}{2}+i\sin\dfrac{\pi}{2}$ です。
$i$ です。

よくある間違い

絶対値 $r$ を， $n$ 乗するのを忘れる。
偏角を $n$ 倍したあと，角を整理する（ $2\pi$ の整数倍を引く）のを忘れる。

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