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ベクトルの内積（空間）の計算問題

空間ベクトルの成分から内積を求める（4択）

この単元のポイント

公式と考え方

空間ベクトルの内積は，平面の場合と同じように，成分の積の和です。成分が3つになります。

  • a⃗=(a1,a2,a3)\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)，b⃗=(b1,b2,b3)\vec{b}=(b_1,b_2,b_3) のとき，a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 です。
  • 大きさは，∣a⃗∣=a12+a22+a32|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} です。
  • なす角は，cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos\theta=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} で求められます。
例題と解き方

a⃗=(1,2,3)\vec{a}=(1,2,3)，b⃗=(2,−1,1)\vec{b}=(2,-1,1) の内積を求めなさい。

  1. 1×2+2×(−1)+3×1=2−2+31\times 2+2\times(-1)+3\times 1=2-2+3 です。
  2. 33 です。

a⃗=(1,1,0)\vec{a}=(1,1,0)，b⃗=(0,1,1)\vec{b}=(0,1,1) のなす角を求めなさい。

  1. a⃗⋅b⃗=1\vec{a}\cdot\vec{b}=1，∣a⃗∣=∣b⃗∣=2|\vec{a}|=|\vec{b}|=\sqrt{2} です。
  2. cos⁡θ=12\cos\theta=\dfrac{1}{2} より，θ=60∘\theta=60^\circ です。
よくある間違い
  • 3つ目の成分の積を，足し忘れる。
  • 大きさの計算で，根号をつけ忘れる。

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