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ベクトルの内積（平面）の計算問題

平面ベクトルの成分から内積を求める（4択）

この単元のポイント

公式と考え方

2つのベクトルの内積は，成分で表すと，対応する成分どうしの積の和になります。内積から，ベクトルのなす角や垂直条件が分かります。

  • a⃗=(a1,a2)\vec{a}=(a_1,a_2)，b⃗=(b1,b2)\vec{b}=(b_1,b_2) のとき，a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2 です。
  • a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta から，cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos\theta=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} です。
  • a⃗⊥b⃗\vec{a}\perp\vec{b} のとき，a⃗⋅b⃗=0\vec{a}\cdot\vec{b}=0 です。
例題と解き方

a⃗=(2,3)\vec{a}=(2,3)，b⃗=(1,−4)\vec{b}=(1,-4) の内積を求めなさい。

  1. 2×1+3×(−4)=2−122\times 1+3\times(-4)=2-12 です。
  2. −10-10 です。

a⃗=(1,0)\vec{a}=(1,0)，b⃗=(1,1)\vec{b}=(1,1) のなす角を求めなさい。

  1. a⃗⋅b⃗=1\vec{a}\cdot\vec{b}=1，∣a⃗∣=1|\vec{a}|=1，∣b⃗∣=2|\vec{b}|=\sqrt{2} です。
  2. cos⁡θ=12\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}} より，θ=45∘\theta=45^\circ です。
よくある間違い
  • 成分の積を，たす（a1+b1a_1+b_1）のように，計算してしまう。
  • 内積の結果が，ベクトルになると思ってしまう。内積は数（スカラー）です。

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