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逆関数と合成関数の計算問題

1次関数の逆関数・合成関数を求める（4択）

この単元のポイント

公式と考え方

y=f(x)y=f(x) を xx について解き，xx と yy を入れかえた関数を，逆関数といいます。2つの関数をつなげたものを，合成関数といいます。

  • 逆関数の求め方：y=f(x)y=f(x) を x=⋯x=\cdots の形に解いて，xx と yy を入れかえます。
  • ff の定義域・値域は，逆関数 f−1f^{-1} では，入れかわります。
  • 合成関数 (g∘f)(x)=g(f(x))(g\circ f)(x)=g(f(x)) は，ff を先に，gg を後に適用します。
例題と解き方

f(x)=2x+3f(x)=2x+3 の逆関数 f−1(x)f^{-1}(x) を求めなさい。

  1. y=2x+3y=2x+3 を xx について解きます。x=y−32x=\dfrac{y-3}{2} です。
  2. xx と yy を入れかえて，f−1(x)=x−32f^{-1}(x)=\dfrac{x-3}{2} です。

f(x)=2x+3f(x)=2x+3，g(x)=x2g(x)=x^2 のとき，(g∘f)(x)(g\circ f)(x) と (f∘g)(x)(f\circ g)(x) を求めなさい。

  1. (g∘f)(x)=g(2x+3)=(2x+3)2(g\circ f)(x)=g(2x+3)=(2x+3)^2 です。
  2. (f∘g)(x)=f(x2)=2x2+3(f\circ g)(x)=f(x^2)=2x^2+3 です。
よくある間違い
  • xx と yy を入れかえるのを忘れる。
  • 合成関数で，適用する順番を逆にしてしまう。

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