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2次方程式の解（複素数解）の計算問題

判別式が負の2次方程式の複素数解を求める

この単元のポイント

公式と考え方

実数の範囲で解がない2次方程式（判別式 D<0D<0）は，複素数の範囲で解をもちます。

  • a>0a>0 のとき，−a=a i\sqrt{-a}=\sqrt{a}\,i と定めます。
  • 解の公式 x=−b±b2−4ac2ax=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} で，D<0D<0 のとき，根号の中が負になり，ii が現れます。
  • 解は，p±qip\pm qi の形（共役な複素数の組）になります。
例題と解き方

x2+4=0x^2+4=0 を解きなさい。

  1. x2=−4x^2=-4 より，x=±−4x=\pm\sqrt{-4} です。
  2. x=±2ix=\pm 2i です。

x2−2x+5=0x^2-2x+5=0 を解きなさい。

  1. D=4−20=−16D=4-20=-16 で，−16=4i\sqrt{-16}=4i です。
  2. x=2±4i2=1±2ix=\dfrac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i です。
よくある間違い
  • −16\sqrt{-16} を ±4\pm 4 としてしまう。−16=4i\sqrt{-16}=4i です。
  • 解の公式の最後に，分母の2で，実部と虚部の両方をわり忘れる。

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