Math Gym

余弦定理の計算問題

余弦定理を利用して辺の長さや角の余弦を求める

この単元のポイント

公式と考え方

三角形 ABCABC で，余弦定理 a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2=b^2+c^2-2bc\cos A が成り立ちます。2辺とその間の角から，残りの辺が求められます。

  • a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2=b^2+c^2-2bc\cos A，b2=c2+a2−2cacos⁡Bb^2=c^2+a^2-2ca\cos B，c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2=a^2+b^2-2ab\cos C です。
  • 3辺が分かるときは，cos⁡A=b2+c2−a22bc\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} で角を求められます。
  • A=90∘A=90^\circ のとき，cos⁡A=0\cos A=0 で，三平方の定理になります。
例題と解き方

b=3b=3，c=5c=5，A=60∘A=60^\circ のとき，aa を求めなさい。

  1. a2=9+25−2×3×5×12=34−15=19a^2=9+25-2\times 3\times 5\times\dfrac{1}{2}=34-15=19 です。
  2. a=19a=\sqrt{19} です。

a=7a=7，b=5b=5，c=3c=3 のとき，AA を求めなさい。

  1. cos⁡A=25+9−492×5×3=−1530=−12\cos A=\dfrac{25+9-49}{2\times 5\times 3}=\dfrac{-15}{30}=-\dfrac{1}{2} です。
  2. A=120∘A=120^\circ です。
よくある間違い
  • −2bccos⁡A-2bc\cos A の符号を，++ にしてしまう。
  • 角を求めるときの分母 2bc2bc を，bcbc にしてしまう。

同じ章のほかの単元