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三角比の相互関係の計算問題

sinθ, cosθ, tanθ の相互関係を利用して他の値を求める

この単元のポイント

公式と考え方

三角比の間には，sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1，tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} などの関係があります。1つの値から，ほかの値を求められます。

  • sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 です。
  • tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}，1+tan⁡2θ=1cos⁡2θ1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta} です。
  • 平方根をとるときは，θ\theta が鋭角か鈍角かで，符号が決まります（鋭角なら正）。
例題と解き方

0∘<θ<90∘0^\circ<\theta<90^\circ で sin⁡θ=35\sin\theta=\dfrac{3}{5} のとき，cos⁡θ\cos\theta と tan⁡θ\tan\theta を求めなさい。

  1. cos⁡2θ=1−925=1625\cos^2\theta=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25} で，鋭角なので cos⁡θ=45\cos\theta=\dfrac{4}{5} です。
  2. tan⁡θ=35÷45=34\tan\theta=\dfrac{3}{5}\div\dfrac{4}{5}=\dfrac{3}{4} です。
よくある間違い
  • 平方根をとるとき，正負の両方を答えてしまう。鋭角なら正だけです。
  • sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 を，sin⁡θ+cos⁡θ=1\sin\theta+\cos\theta=1 としてしまう。

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