Math Gym

正弦定理と余弦定理の活用の計算問題

正弦定理・余弦定理を組み合わせて角度を求める

この単元のポイント

公式と考え方

正弦定理と余弦定理を，条件に応じて使い分けて，三角形の角や辺を求めます。

  • 3辺が分かる，または2辺とその間の角が分かるときは，余弦定理を使います。
  • 1辺とその対角，もう1つの角や辺が分かるときは，正弦定理を使います。
  • 正弦定理で角を求めるとき，sin⁡\sin の値から角は2つ（鋭角と鈍角）考えられるので，三角形の条件で絞ります。
例題と解き方

3辺が 3, 5, 73,\ 5,\ 7 の三角形で，最大の角を求めなさい。

  1. 最大の角は，最も長い辺7の対角です。
  2. cos⁡θ=9+25−492×3×5=−12\cos\theta=\dfrac{9+25-49}{2\times 3\times 5}=-\dfrac{1}{2} より，θ=120∘\theta=120^\circ です。

a=6a=\sqrt{6}，b=2b=2，A=60∘A=60^\circ のとき，BB を求めなさい。

  1. 正弦定理から，sin⁡B=bsin⁡Aa=2×326=12\sin B=\dfrac{b\sin A}{a}=\dfrac{2\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} です。
  2. b<ab<a なので B<AB<A で，B=45∘B=45^\circ です。
よくある間違い
  • sin⁡B\sin B から角を求めるとき，鈍角の可能性を考えずに答えてしまう。
  • 条件に合わない定理を使おうとして，計算が止まる。

同じ章のほかの単元