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空間図形への活用の計算問題

仰角を利用して高さを求める文章題

この単元のポイント

公式と考え方

仰角から高さを求める問題では，直角三角形をつくって，tan⁡\tan を使います。目の高さを足し忘れないようにします。

  • 仰角 θ\theta のとき，高さ == 水平距離 ×tan⁡θ\times\tan\theta です。
  • 観測する人の目の高さがあるときは，高さに目の高さを足します。
  • tan⁡30∘=13\tan 30^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{3}}，tan⁡45∘=1\tan 45^\circ=1，tan⁡60∘=3\tan 60^\circ=\sqrt{3} をよく使います。
例題と解き方

塔から20m離れた地点から塔の先端を見上げると，仰角が 60∘60^\circ でした。目の高さを無視して，塔の高さを求めなさい。

  1. 塔の高さは 20×tan⁡60∘20\times\tan 60^\circ です。
  2. =203=20\sqrt{3} m です。

塔から30m離れた地点で，目の高さ1.5mから仰角 30∘30^\circ で塔の先端が見えます。塔の高さを求めなさい。

  1. 目の高さより上の部分は，30×tan⁡30∘=30×13=10330\times\tan 30^\circ=30\times\dfrac{1}{\sqrt{3}}=10\sqrt{3} m です。
  2. 目の高さを足して，103+1.510\sqrt{3}+1.5 m です。
よくある間違い
  • 目の高さを足し忘れる。
  • sin⁡\sin，cos⁡\cos を使ってしまう。水平距離と高さの関係には tan⁡\tan を使います。

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