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正弦定理の計算問題

正弦定理を利用して辺の長さや外接円の半径を求める

この単元のポイント

公式と考え方

三角形 ABCABC で，外接円の半径を RR とすると，正弦定理 asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R が成り立ちます。

  • 1つの辺とその対角，もう1つの角（または辺）が分かるときに使います。
  • a: b=sin⁡A:sin⁡Ba:\ b=\sin A:\sin B のように，辺の比と対角の sin⁡\sin の比が等しいと考えても使えます。
  • 外接円の半径は，R=a2sin⁡AR=\dfrac{a}{2\sin A} で求められます。
例題と解き方

a=4a=4，A=30∘A=30^\circ，B=45∘B=45^\circ のとき，bb を求めなさい。

  1. 正弦定理から，4sin⁡30∘=bsin⁡45∘\dfrac{4}{\sin 30^\circ}=\dfrac{b}{\sin 45^\circ} です。
  2. b=4×22÷12=42b=4\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}\div\dfrac{1}{2}=4\sqrt{2} です。

a=6a=6，A=30∘A=30^\circ のとき，外接円の半径 RR を求めなさい。

  1. 2R=6sin⁡30∘=122R=\dfrac{6}{\sin 30^\circ}=12 です。
  2. R=6R=6 です。
よくある間違い
  • asin⁡A=R\dfrac{a}{\sin A}=R と，2R2R の「2」を忘れる。
  • 辺と対角の組み合わせを間違える。辺 aa の対角は AA です。

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