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加法定理の計算問題

加法定理を利用して三角関数の値を求める

この単元のポイント

公式と考え方

2つの角の和・差の三角関数は，加法定理で，それぞれの角の三角関数から求められます。

  • sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta（符号は同じ）。
  • cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta（符号は逆）。
  • 75∘=45∘+30∘75^\circ=45^\circ+30^\circ，15∘=45∘−30∘15^\circ=45^\circ-30^\circ のように，基本の角の和や差に分けて使います。
例題と解き方

sin⁡75∘\sin 75^\circ の値を求めなさい。

  1. sin⁡(45∘+30∘)=sin⁡45∘cos⁡30∘+cos⁡45∘sin⁡30∘\sin(45^\circ+30^\circ)=\sin 45^\circ\cos 30^\circ+\cos 45^\circ\sin 30^\circ です。
  2. =22⋅32+22⋅12=6+24=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} です。

cos⁡15∘\cos 15^\circ の値を求めなさい。

  1. cos⁡(45∘−30∘)=cos⁡45∘cos⁡30∘+sin⁡45∘sin⁡30∘\cos(45^\circ-30^\circ)=\cos 45^\circ\cos 30^\circ+\sin 45^\circ\sin 30^\circ です。
  2. =6+24=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} です。
よくある間違い
  • cos⁡(α+β)\cos(\alpha+\beta) の符号を，++ にしてしまう。cos⁡\cos は符号が逆です。
  • sin⁡(α+β)=sin⁡α+sin⁡β\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha+\sin\beta としてしまう。

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