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三角関数の性質の計算問題

周期性・対称性を利用して三角関数の値を求める

この単元のポイント

公式と考え方

三角関数には，周期性と対称性があり，これを使うと，いろいろな角の値を，基本の角の値に直せます。

  • sin⁡(−θ)=−sin⁡θ\sin(-\theta)=-\sin\theta，cos⁡(−θ)=cos⁡θ\cos(-\theta)=\cos\theta，tan⁡(−θ)=−tan⁡θ\tan(-\theta)=-\tan\theta です。
  • sin⁡(θ+2π)=sin⁡θ\sin(\theta+2\pi)=\sin\theta（周期 2π2\pi）。sin⁡(θ+π)=−sin⁡θ\sin(\theta+\pi)=-\sin\theta，cos⁡(θ+π)=−cos⁡θ\cos(\theta+\pi)=-\cos\theta です。
  • sin⁡(π2−θ)=cos⁡θ\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\theta，cos⁡(π2−θ)=sin⁡θ\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin\theta，cos⁡(π−θ)=−cos⁡θ\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta です。
例題と解き方

sin⁡(−π6)\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) の値を求めなさい。

  1. sin⁡(−θ)=−sin⁡θ\sin(-\theta)=-\sin\theta より，−sin⁡π6=−12-\sin\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{1}{2} です。

cos⁡5π6\cos\dfrac{5\pi}{6} の値を求めなさい。

  1. cos⁡(π−θ)=−cos⁡θ\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta で，5π6=π−π6\dfrac{5\pi}{6}=\pi-\dfrac{\pi}{6} です。
  2. −cos⁡π6=−32-\cos\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} です。
よくある間違い
  • cos⁡(−θ)\cos(-\theta) に符号をつけてしまう。cos⁡\cos は偶関数で，cos⁡(−θ)=cos⁡θ\cos(-\theta)=\cos\theta です。
  • sin⁡\sin と cos⁡\cos の入れかわり（π2−θ\dfrac{\pi}{2}-\theta のとき）を忘れる。

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