等式の証明の計算問題

3乗の和・差の公式を数値で確かめる

この単元のポイント

公式と考え方

等式の証明では，一方の辺を変形して，もう一方の辺と同じ式にします。3乗の和・差の公式は，数値での確認にも使えます。

$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$ が成り立ちます。
$a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)$ が成り立ちます。
$a+b$ と $ab$ が分かれば， $a^3+b^3$ が求められます（対称式の性質）。

例題と解き方

$a+b=5$ ， $ab=6$ のとき， $a^3+b^3$ の値を求めなさい。

$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$ を使います。
$125-3\times 6\times 5=125-90=35$ です。

$a-b=2$ ， $ab=3$ のとき， $a^3-b^3$ の値を求めなさい。

$a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)$ を使います。
$8+3\times 3\times 2=26$ です。

よくある間違い

和の公式と差の公式で， $3ab(\ )$ の符号を取り違える。
$a^3+b^3=(a+b)^3$ としてしまう。

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