Math Gym

合成関数の微分の計算問題

合成関数の微分公式を使って導関数を求める（4択）

この単元のポイント

公式と考え方

合成関数 y=f(g(x))y=f(g(x)) の導関数は，外側の関数の微分に，内側の関数の微分をかけて求めます（連鎖律）。

  • {f(g(x))}′=f′(g(x))⋅g′(x)\{f(g(x))\}'=f'(g(x))\cdot g'(x) です。
  • {(ax+b)n}′=n(ax+b)n−1⋅a\{(ax+b)^n\}'=n(ax+b)^{n-1}\cdot a のように，最後に内側の微分をかけます。
  • dydx=dydu⋅dudx\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx} と表せます。
例題と解き方

{(2x+1)3}′\{(2x+1)^3\}' を求めなさい。

  1. 外側を微分すると 3(2x+1)23(2x+1)^2，内側 2x+12x+1 の微分は2です。
  2. 3(2x+1)2⋅2=6(2x+1)23(2x+1)^2\cdot 2=6(2x+1)^2 です。

{(x2+1)4}′\{(x^2+1)^4\}' を求めなさい。

  1. 外側を微分すると 4(x2+1)34(x^2+1)^3，内側 x2+1x^2+1 の微分は 2x2x です。
  2. 8x(x2+1)38x(x^2+1)^3 です。
よくある間違い
  • 内側の関数の微分を，かけ忘れる。
  • 外側の指数を下ろしたあと，かっこの中身まで変えてしまう。

同じ章のほかの単元