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積の微分の計算問題

積の微分公式を使って導関数を求める（4択）

この単元のポイント

公式と考え方

2つの関数の積の導関数は，積の微分公式で求められます。

  • {f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) です。
  • 商の微分：{f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x){g(x)}2\left\{\dfrac{f(x)}{g(x)}\right\}'=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2} です。
  • 展開してから微分しても，同じ結果になります（確かめに使えます）。
例題と解き方

{x2(x+1)}′\{x^2(x+1)\}' を求めなさい。

  1. 積の微分公式から，2x(x+1)+x2⋅12x(x+1)+x^2\cdot 1 です。
  2. 3x2+2x3x^2+2x です（展開して x3+x2x^3+x^2 を微分しても同じ）。
よくある間違い
  • (fg)′=f′g′(fg)'=f'g' としてしまう。積の微分は，f′g+fg′f'g+fg' です。
  • 商の微分で，分子の引き算の順番を逆にしてしまう。

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