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確率変数の期待値と分散の計算問題

確率変数の期待値・分散・標準偏差を求める

この単元のポイント

公式と考え方

確率変数の平均的な値を期待値，散らばりの大きさを分散・標準偏差といいます。

  • 期待値 E(X)=∑xkpkE(X)=\sum x_kp_k です。
  • 分散 V(X)=E(X2)−{E(X)}2V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2 です。標準偏差は σ(X)=V(X)\sigma(X)=\sqrt{V(X)} です。
  • E(X2)=∑xk2pkE(X^2)=\sum x_k^2p_k を，先に求めます。
例題と解き方

XX の値が 0, 1, 20,\ 1,\ 2 で，確率が順に 14, 12, 14\dfrac{1}{4},\ \dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{4} のとき，E(X)E(X)，V(X)V(X)，σ(X)\sigma(X) を求めなさい。

  1. E(X)=0×14+1×12+2×14=1E(X)=0\times\dfrac{1}{4}+1\times\dfrac{1}{2}+2\times\dfrac{1}{4}=1 です。
  2. E(X2)=0+12+1=32E(X^2)=0+\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{3}{2} なので，V(X)=32−1=12V(X)=\dfrac{3}{2}-1=\dfrac{1}{2} です。
  3. σ(X)=22\sigma(X)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} です。
よくある間違い
  • V(X)=E(X2)−E(X)V(X)=E(X^2)-E(X) としてしまう。E(X)E(X) を2乗します。
  • 標準偏差を，分散のまま答えてしまう。

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