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絶対値を含む不等式（発展）の計算問題

平方根と絶対値の関係や複数の絶対値を利用して、より複雑な方程式・不等式を解く

この単元のポイント

公式と考え方

a2=∣a∣\sqrt{a^2}=|a| の関係や，2乗して絶対値をはずす方法を使うと，より複雑な絶対値の式も扱えます。

  • a2=∣a∣\sqrt{a^2}=|a| です。aa が負のときは，a2=−a\sqrt{a^2}=-a になります。
  • 両辺が0以上のとき，両辺を2乗しても大小関係は変わらないので，∣A∣<∣B∣|A|<|B| は A2<B2A^2<B^2 として解けます。
  • ∣a∣2=a2|a|^2=a^2 を使います。
例題と解き方

(2−5)2\sqrt{(2-\sqrt{5})^2} を簡単にしなさい。

  1. A2=∣A∣\sqrt{A^2}=|A| なので，∣2−5∣|2-\sqrt{5}| です。
  2. 5>2\sqrt{5}>2 より，中身は負なので，−(2−5)=5−2-(2-\sqrt{5})=\sqrt{5}-2 です。

∣x∣<∣x−2∣|x|<|x-2| を解きなさい。

  1. 両辺を2乗します。x2<(x−2)2x^2<(x-2)^2 より，x2<x2−4x+4x^2<x^2-4x+4 です。
  2. 4x<44x<4 より，x<1x<1 です。
よくある間違い
  • a2=a\sqrt{a^2}=a としてしまう。aa が負のときは −a-a です。
  • 両辺が負のかもしれないのに，2乗して大小を比べてしまう。絶対値どうしなら2乗できます。

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