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根号を含む式の計算（発展的）の計算問題

多項の根号計算の簡約、および分母の有理化（共役の利用）

この単元のポイント

公式と考え方

根号を含む式の計算では，分母に a+b\sqrt{a}+\sqrt{b} のような和や差があるとき，共役な式（符号だけ変えた式）をかけて有理化します。

  • (a+b)(a−b)=a−b(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b を使うと，分母から根号が消えます。
  • 1a+b=a−ba−b\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b} です。
  • 展開は，(a+b)2=a+b+2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+b+2\sqrt{ab} のように，乗法公式を使います。
例題と解き方

13+2\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} の分母を有理化しなさい。

  1. 分母・分子に 3−2\sqrt{3}-\sqrt{2} をかけます。3−2(3+2)(3−2)\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}
  2. 分母は 3−2=13-2=1 なので，3−2\sqrt{3}-\sqrt{2} です。

(5+2)2(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2 を計算しなさい。

  1. 5+2+25×25+2+2\sqrt{5\times 2} です。
  2. 7+2107+2\sqrt{10} です。
よくある間違い
  • 共役な式をかけるとき，分母だけにかけて，分子にかけ忘れる。
  • (5+2)2(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2 を 5+25+2 としてしまう。中央の項 2102\sqrt{10} を忘れずに。

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