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定積分のいろいろな問題の計算問題

奇関数の対称性を使って定積分を求める（4択）

この単元のポイント

公式と考え方

奇関数・偶関数の対称性を使うと，対称な区間の定積分を，簡単に計算できます。

  • 奇関数（f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)）：∫−aaf(x) dx=0\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0 です。
  • 偶関数（f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)）：∫−aaf(x) dx=2∫0af(x) dx\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int_0^a f(x)\,dx です。
  • 和の形は，奇関数の部分と偶関数の部分に分けて，考えます。
例題と解き方

∫−11x3 dx\int_{-1}^{1}x^3\,dx と ∫−22(x2+x) dx\int_{-2}^{2}(x^2+x)\,dx を求めなさい。

  1. x3x^3 は奇関数なので，00 です。
  2. xx は奇関数で0，x2x^2 は偶関数で 2∫02x2 dx=2×83=1632\int_0^2x^2\,dx=2\times\dfrac{8}{3}=\dfrac{16}{3} です。
よくある間違い
  • 偶関数の対称区間で，2倍するのを忘れる。
  • 奇関数と偶関数を，取り違える。

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