置換積分の計算問題

置換積分を使った不定積分

この単元のポイント

公式と考え方

合成関数の形の積分には，置換積分法を使います。 $t=g(x)$ とおいて， $dx$ も $t$ の式に直します。

$t=g(x)$ とおくと， $dt=g'(x)\,dx$ です。
$\int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(t)\,dt$ と変形して積分し，最後に $x$ に戻します。
$\int(ax+b)^n\,dx=\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+C$ の形が，よく出ます。

例題と解き方

$\int(2x+1)^3\,dx$ を求めなさい。

$t=2x+1$ とおくと， $dt=2\,dx$ で， $dx=\dfrac{1}{2}dt$ です。
$\dfrac{1}{2}\int t^3\,dt=\dfrac{t^4}{8}+C=\dfrac{(2x+1)^4}{8}+C$ です。

$\int 2x(x^2+1)^3\,dx$ を求めなさい。

$t=x^2+1$ とおくと， $dt=2x\,dx$ です。
$\int t^3\,dt=\dfrac{t^4}{4}+C=\dfrac{(x^2+1)^4}{4}+C$ です。

よくある間違い

$dx$ を $t$ の式に直すのを忘れる（ $dt=2\,dx$ の係数）。
最後に， $t$ を $x$ の式に戻し忘れる。

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