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面積の計算問題

曲線とx軸で囲まれた部分の面積を求める（4択）

この単元のポイント

公式と考え方

曲線と xx 軸（または2つの曲線）で囲まれた部分の面積は，上側の関数から下側の関数を引いて，積分して求めます。

  • a≦x≦ba\leqq x\leqq b で f(x)≧g(x)f(x)\geqq g(x) のとき，面積は ∫ab{f(x)−g(x)} dx\int_a^b\{f(x)-g(x)\}\,dx です。
  • 交点の xx 座標を求めて，積分区間にします。
  • 面積は正の値です。グラフをかいて，上下関係を確かめます。
例題と解き方

曲線 y=x2y=x^2 と直線 y=xy=x で囲まれた部分の面積を求めなさい。

  1. 交点は x2=xx^2=x より，x=0, 1x=0,\ 1 です。0≦x≦10\leqq x\leqq 1 では x≧x2x\geqq x^2 です。
  2. ∫01(x−x2) dx=[x22−x33]01=12−13=16\int_0^1(x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6} です。
よくある間違い
  • 上下の関数を逆にして，負の値になる。
  • 交点を求めずに，積分区間を決めてしまう。

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