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部分積分の計算問題

部分積分を使った不定積分（4択）

この単元のポイント

公式と考え方

積の形の関数の積分には，部分積分法を使います。∫f(x)g′(x) dx=f(x)g(x)−∫f′(x)g(x) dx\int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx です。

  • ff（微分して簡単になるほう）と g′g'（積分しやすいほう）を，うまく選びます。
  • ∫xex dx\int xe^x\,dx，∫xcos⁡x dx\int x\cos x\,dx などでは，xx を ff に選びます。
  • 答えを微分して，確かめられます。
例題と解き方

∫xex dx\int xe^x\,dx を求めなさい。

  1. f=xf=x，g′=exg'=e^x とすると，f′=1f'=1，g=exg=e^x です。
  2. xex−∫ex dx=xex−ex+Cxe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x+C です。

∫xcos⁡x dx\int x\cos x\,dx を求めなさい。

  1. f=xf=x，g′=cos⁡xg'=\cos x とすると，f′=1f'=1，g=sin⁡xg=\sin x です。
  2. xsin⁡x−∫sin⁡x dx=xsin⁡x+cos⁡x+Cx\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x+C です。
よくある間違い
  • ff と g′g' の選び方を逆にして，かえって式が複雑になる。
  • ∫f′g dx\int f'g\,dx の符号（引き算）を，間違える。

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