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道のりの計算問題

速度から道のり（速度の絶対値の積分）を求める（4択）

この単元のポイント

公式と考え方

速度 v(t)v(t) から，動いた距離（道のり）を求めるには，速度の絶対値を積分します。位置の変化（変位）とは，違います。

  • 位置の変化（変位）は，∫abv(t) dt\int_a^b v(t)\,dt です（向きを考える）。
  • 道のりは，∫ab∣v(t)∣ dt\int_a^b|v(t)|\,dt です。速度が負になる区間は，符号を変えて積分します。
  • v(t)=0v(t)=0 となる時刻で，区間を分けます。
例題と解き方

速度 v=t−2v=t-2 で動く点の，t=0t=0 から t=4t=4 までの道のりを求めなさい。

  1. v=0v=0 となるのは t=2t=2 です。0≦t≦20\leqq t\leqq 2 では v≦0v\leqq 0，2≦t≦42\leqq t\leqq 4 では v≧0v\geqq 0 です。
  2. 道のりは ∫02(2−t) dt+∫24(t−2) dt=2+2=4\int_0^2(2-t)\,dt+\int_2^4(t-2)\,dt=2+2=4 です。（位置の変化は 2−2=02-2=0）
よくある間違い
  • 絶対値をつけずに積分して，道のりが0になる（変位を求めてしまう）。
  • v=0v=0 の時刻で区間を分けるのを，忘れる。

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