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体積の計算問題

x軸のまわりの回転体の体積を求める（4択）

この単元のポイント

公式と考え方

曲線 y=f(x)y=f(x) を xx 軸のまわりに1回転させてできる立体（回転体）の体積は，断面の円の面積を積分して求めます。

  • a≦x≦ba\leqq x\leqq b の部分を xx 軸のまわりに回転させた体積は，V=π∫ab{f(x)}2 dxV=\pi\int_a^b\{f(x)\}^2\,dx です。
  • 断面は，半径 ∣f(x)∣|f(x)| の円なので，面積は π{f(x)}2\pi\{f(x)\}^2 です。
  • π\pi をかけ忘れないようにします。
例題と解き方

y=x (0≦x≦3)y=x\ (0\leqq x\leqq 3) を，xx 軸のまわりに回転させてできる立体の体積を求めなさい。

  1. V=π∫03x2 dx=π[x33]03V=\pi\int_0^3x^2\,dx=\pi\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 です。
  2. 9π9\pi です（底面の半径3，高さ3の円錐の体積 13π⋅9⋅3\dfrac{1}{3}\pi\cdot 9\cdot 3 と一致）。
よくある間違い
  • f(x)f(x) を2乗せずに，積分してしまう。
  • π\pi をかけ忘れる。

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