Math Gym

置換積分法と部分積分法の計算問題

置換積分を使った定積分を求める（4択）

この単元のポイント

公式と考え方

定積分でも，置換積分法と部分積分法が使えます。置換するときは，積分区間も変わります。

  • 置換積分では，t=g(x)t=g(x) とおき，xx の区間を tt の区間に直します。
  • 部分積分：∫abfg′ dx=[fg]ab−∫abf′g dx\int_a^b fg'\,dx=\left[fg\right]_a^b-\int_a^b f'g\,dx です。
  • 置換したあとは，xx に戻さずに，そのまま tt の区間で計算できます。
例題と解き方

∫012x(x2+1)2 dx\int_0^1 2x(x^2+1)^2\,dx を求めなさい。

  1. t=x2+1t=x^2+1 とおくと，dt=2x dxdt=2x\,dx で，x:0→1x:0\to 1 のとき t:1→2t:1\to 2 です。
  2. ∫12t2 dt=[t33]12=8−13=73\int_1^2 t^2\,dt=\left[\dfrac{t^3}{3}\right]_1^2=\dfrac{8-1}{3}=\dfrac{7}{3} です。

∫01xex dx\int_0^1 xe^x\,dx を求めなさい。

  1. 部分積分で，[xex−ex]01\left[xe^x-e^x\right]_0^1 です。
  2. (e−e)−(0−1)=1(e-e)-(0-1)=1 です。
よくある間違い
  • 置換したあとも，積分区間を xx のままにしてしまう。
  • 部分積分の [fg]ab\left[fg\right]_a^b に，上端・下端の値を代入し忘れる。

同じ章のほかの単元