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階差数列の計算問題

階差数列b_nと初項a_1から、Σを用いて第k項a_kを求める

この単元のポイント

公式と考え方

数列 {an}\{a_n\} の隣り合う項の差 bn=an+1−anb_n=a_{n+1}-a_n でつくる数列を，階差数列といいます。階差数列から，もとの数列の一般項を求められます。

  • n≧2n\geqq 2 のとき，an=a1+∑k=1n−1bka_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k です。
  • この式が n=1n=1 でも成り立つか，確かめます。
  • 階差数列が等差数列なら，一般項は nn の2次式になります。
例題と解き方

数列 1, 2, 4, 7, 11, …1,\ 2,\ 4,\ 7,\ 11,\ \dots の一般項を求めなさい。

  1. 階差数列は 1, 2, 3, 4, …1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \dots で，bk=kb_k=k です。
  2. an=1+∑k=1n−1k=1+n(n−1)2a_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}k=1+\dfrac{n(n-1)}{2} です（n=1n=1 のとき a1=1a_1=1 で成り立つ）。
よくある間違い
  • ∑\sum の上端を nn にして，n−1n-1 にしない。
  • n=1n=1 のときに成り立つかの確認を，忘れる。

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