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いろいろな数列の和の計算問題

部分分数分解によるtelescoping、または等差×等比型の和をずらして引く技法で求める

この単元のポイント

公式と考え方

いろいろな数列の和は，式を変形して，うまく打ち消したり，ずらして引いたりして求めます。

  • 部分分数分解：1k(k+1)=1k−1k+1\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1} とすると，和で，途中の項が打ち消しあいます。
  • （等差）×（等比）型の和 SS は，SS と rSrS を，1項ずらして引くと，等比数列の和になります。
  • ∑k=1nk⋅2k−1=(n−1)2n+1\sum_{k=1}^{n}k\cdot 2^{k-1}=(n-1)2^n+1 です。
例題と解き方

∑k=141k(k+1)\sum_{k=1}^{4}\dfrac{1}{k(k+1)} を求めなさい。

  1. 1k(k+1)=1k−1k+1\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1} なので，(1−12)+(12−13)+⋯+(14−15)\left(1-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}\right) です。
  2. 途中の項が消えて，1−15=451-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5} です。

∑k=13k⋅2k−1\sum_{k=1}^{3}k\cdot 2^{k-1} を求めなさい。

  1. 書き下すと，1⋅1+2⋅2+3⋅4=1+4+121\cdot 1+2\cdot 2+3\cdot 4=1+4+12 です。
  2. 1717 です（公式でも，(3−1)⋅23+1=17(3-1)\cdot 2^3+1=17）。
よくある間違い
  • 部分分数分解で，打ち消しあう項を，数え間違える。
  • ずらして引くとき，端の項の処理を間違える。

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