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漸化式の計算問題

a_{n+1}=pa_n+qを不動点を用いて等比数列に帰着させ、特定の項または一般項を求める

この単元のポイント

公式と考え方

前の項から次の項を決める関係式を，漸化式といいます。an+1=pan+qa_{n+1}=pa_n+q の形は，変形して等比数列に直せます。

  • α=pα+q\alpha=p\alpha+q を満たす α\alpha（不動点）を求めます。
  • an+1−α=p(an−α)a_{n+1}-\alpha=p(a_n-\alpha) と変形すると，{an−α}\{a_n-\alpha\} は公比 pp の等比数列になります。
  • an−α=(a1−α)pn−1a_n-\alpha=(a_1-\alpha)p^{n-1} から，一般項を求めます。
例題と解き方

a1=1a_1=1，an+1=2an+3a_{n+1}=2a_n+3 で定められる数列の一般項を求めなさい。

  1. α=2α+3\alpha=2\alpha+3 より，α=−3\alpha=-3 です。an+1+3=2(an+3)a_{n+1}+3=2(a_n+3) と変形できます。
  2. a1+3=4a_1+3=4 より，an+3=4⋅2n−1=2n+1a_n+3=4\cdot 2^{n-1}=2^{n+1} です。an=2n+1−3a_n=2^{n+1}-3 です。
よくある間違い
  • 不動点を求める式で，符号を間違える。
  • 等比数列にしたあと，もとの数列に戻すときに，α\alpha を引き（足し）忘れる。

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