Math Gym

数学的帰納法の計算問題

証明したい命題の特定のnにおける値を検証する、または帰納法の論理構造についての概念問題（4択）

この単元のポイント

公式と考え方

自然数 nn についての命題を証明する方法に，数学的帰納法があります。ドミノ倒しのように，すべての nn で成り立つことを示します。

  • ①n=1n=1 のとき成り立つことを示す。
  • ②n=kn=k のとき成り立つと仮定して，n=k+1n=k+1 のときも成り立つことを示す。
  • ①と②がそろえば，すべての自然数 nn で成り立ちます。②では，かならず仮定を使います。
例題と解き方

「1+3+5+⋯+(2n−1)=n21+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2」を数学的帰納法で証明する，①と②の流れを述べなさい。

  1. ①n=1n=1 のとき，左辺は1，右辺は 12=11^2=1 で成り立ちます。
  2. ②n=kn=k で成り立つと仮定すると，1+3+⋯+(2k−1)=k21+3+\cdots+(2k-1)=k^2 です。n=k+1n=k+1 では，左辺 =k2+(2k+1)=(k+1)2=k^2+(2k+1)=(k+1)^2 となり，成り立ちます。
よくある間違い
  • ②で，仮定を使わずに，n=k+1n=k+1 の式を直接計算してしまう。
  • ①の n=1n=1 の確認を，省いてしまう。

同じ章のほかの単元