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等比数列の和の計算問題

等比数列の初項から第n項までの和を求める

この単元のポイント

公式と考え方

等比数列の初項から第 nn 項までの和は，公比 rr が1かそうでないかで，公式が変わります。

  • r≠1r\neq 1 のとき，Sn=a(rn−1)r−1=a(1−rn)1−rS_n=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r} です。
  • r=1r=1 のとき，Sn=naS_n=na です。
  • r>1r>1 のときは a(rn−1)r−1\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}，r<1r<1 のときは a(1−rn)1−r\dfrac{a(1-r^n)}{1-r} が計算しやすいです。
例題と解き方

初項1，公比2の等比数列の，初項から第6項までの和を求めなさい。

  1. S6=1×(26−1)2−1=63S_6=\dfrac{1\times(2^6-1)}{2-1}=63 です。

初項3，公比 12\dfrac{1}{2} の等比数列の，初項から第4項までの和を求めなさい。

  1. S4=3(1−116)1−12=3×1516×2S_4=\dfrac{3\left(1-\frac{1}{16}\right)}{1-\frac{1}{2}}=3\times\dfrac{15}{16}\times 2 です。
  2. 458\dfrac{45}{8} です。
よくある間違い
  • 公比が1のとき，公式にそのまま代入して，0でわってしまう。
  • rnr^n の指数を，n−1n-1 にしてしまう。和の公式では，rnr^n です。

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