中学数学 · 約8分

平方根の計算を整理する4つのルール

執筆・監修: Math Gym運営（meervogel.lab）
公開日: 2026-11-01

根号が付いている数は、計算が止まっている数ではありません。小数で最後まで書き切れない値でも、根号を使えば正確に表せます。そこで必要になるのが、同じ値を保ったまま扱いやすい形に直す規則です。掛け算の規則、たし算の規則、平方の規則を分けて読むと、根号を見たら中の数字を何でも計算する、という誤りを防ぎやすくなります。

平方根と根号の表す値を区別する

ある正の数の平方根は、2乗してその数になる正負二つの数です。一方、$\sqrt{a}$ は $a$ が0以上のとき、そのうち0以上の値を表します。例えば9の平方根は3と負の3ですが、$\sqrt{9}=3$ です。方程式の解として正負を付ける場面と、根号そのものの値を求める場面を区別してください。0の平方根は0一つになります。

実数の範囲で根号を扱うこの記事では、根号の中は0以上です。また $\sqrt{x^2}$ は常に $x$ になるのではなく $|x|$ です。負の数を2乗してから根号を取ると、0以上の値に戻るからです。文字を使う公式では、文字が正と指定されているかを確認します。数だけの問題で慣れた操作も、文字に広げると条件が必要になることがあります。

簡単にするには平方の因数を取り出す

$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ は $a,b$ が0以上で使えます。根号の中に平方数の因数があれば、その部分の平方根を外へ出せます。小さい素数から分解して同じ因数を二つずつ組にすると、平方数を見落としにくくなります。どの平方数で分けても最終的な値は同じですが、大きい平方数を使うと途中の回数を減らせます。

外の係数は平方数そのものではなく、その平方根です。例題1で36をそのまま外へ出すと、値は大きく変わります。逆向きに確かめる際も、係数をそのまま中へ戻さず2乗します。整数の平方に慣れていない場合は、4、9、16、25、36などを書き出して使っても構いません。暗記を急ぐより、なぜその数が外へ出るかを確認しましょう。

乗除では根号の中と係数を分ける

掛け算では外の係数どうし、根号の中どうしをそれぞれかけ、最後に平方の因数を取り出します。割り算では分母が0でないことが前提です。$a$ が0以上、$b$ が正なら $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ が使えます。根号をまとめる前に数を簡単にする方法もあり、分数の約分と組み合わせると扱いやすくなります。

有理化は数の値を変える操作ではなく、分母に根号がない表し方へ直す操作です。分子と分母に同じ0でない数をかけるという分数の性質を使います。分子にすでに係数や根号があれば、掛けた後で約分できることもあります。先に約分しても後で約分してもよいですが、分子全体と分母全体の共通因数を確かめてから消します。

分母が根号を含む和の場合は、この記事の例題3と同じ数をかけるだけでは根号が残ることがあります。その場合は、和と差の積で平方の差を作る方法を別に学びます。一つの例で成功した操作を、分母の形を見ずに広げないことが大切です。まず単独の根号の有理化を確かめ、その後に複数の項がある形へ進むと違いを整理できます。

加減では同じ根号をもつ項だけまとめる

根号が分子に残っていることは、計算が未完成という意味ではありません。根号の中にさらに取り出せる平方の因数がないか、分数に約分できる共通因数がないかを調べ、問題の指定に合う形ならそこで終えます。小数近似が必要な場合だけ、指定された精度で近似します。途中から小数にすると丸めの影響が混ざるため、正確な値を求める問題では最後まで根号を保ちましょう。

たし算や引き算では、乗法のように根号の中を直接まとめられません。簡単にした後で根号の部分が同じなら、係数を加減します。これは文字式の同類項と同じ考え方です。見た目が違う根号でも、平方の因数を取り出すと同じ形になる場合があるため、まず各項を簡単にし、それからまとめるという順序にします。

途中式の確認は、どの規則を使ったかを言葉で付けると行いやすくなります。「平方の因数を出す」「同じ数を分子分母にかける」「同じ根号の係数をまとめる」の三つは別の操作です。誤った答えを見て数字を直す前に、最初に使えない規則を選んだ行がないかを探します。根号が増えた、消えたという見た目だけでは判断しないでください。

大きさの確認には近い平方数を使えます。例題1の180は169と196の間なので、その平方根は13と14の間です。得られた $6\sqrt{5}$ もその範囲に入るか概算できます。ただし概算で近いだけでは正確な式が同じだと確定できません。公式に基づく変形を主にし、大きさや符号の確認を添えることで、計算の誤りを別の角度から探しましょう。