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無限等比数列の計算問題

無限等比数列 r^n の極限を分類する（4択）

この単元のポイント

公式と考え方

無限等比数列 {rn}\{r^n\} の極限は，公比 rr の大きさで分類できます。

  • ∣r∣<1|r|<1 のとき，rn→0r^n\to 0（収束）。
  • r=1r=1 のとき，rn=1r^n=1 で，1に収束。r>1r>1 のとき，rn→∞r^n\to\infty。
  • r≦−1r\leqq -1 のとき，振動して発散します。
例題と解き方

(12)n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n，3n3^n，(−2)n(-2)^n，(−13)n\left(-\dfrac{1}{3}\right)^n の極限を，それぞれ答えなさい。

  1. (12)n→0\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\to 0，3n→∞3^n\to\infty です。
  2. (−2)n(-2)^n は，符号が交互に変わりながら大きくなるので，振動（発散）です。(−13)n→0\left(-\dfrac{1}{3}\right)^n\to 0 です。
よくある間違い
  • r<0r<0 のとき，すべて収束だと思ってしまう。r≦−1r\leqq -1 は発散です。
  • r=1r=1 を，発散だと思ってしまう。1に収束します。

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