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不定形（無理式）の計算問題

分子の有理化を使って無理式の数列の極限を求める

この単元のポイント

公式と考え方

根号をふくむ ∞−∞\infty-\infty の形の極限は，分子の有理化を使って，不定形を解消します。

  • A−B\sqrt{A}-\sqrt{B} は，(A−B)(A+B)A+B=A−BA+B\dfrac{(\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B})}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}=\dfrac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}} と変形します。
  • 変形後は，分母の最高次の項で，分子・分母をわって，極限を求めます。
  • n2+n=n1+1n\sqrt{n^2+n}=n\sqrt{1+\dfrac{1}{n}} と，nn でくくる方法も使えます。
例題と解き方

lim⁡n→∞(n2+n−n)\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+n}-n\right) を求めなさい。

  1. 有理化します。(n2+n)−n2n2+n+n=nn2+n+n\dfrac{(n^2+n)-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}=\dfrac{n}{\sqrt{n^2+n}+n} です。
  2. 分子・分母を nn でわります。11+1n+1→12\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}\to\dfrac{1}{2} です。
よくある間違い
  • 有理化せずに，∞−∞=0\infty-\infty=0 としてしまう。
  • 有理化で，分母・分子の両方に同じ式をかけ忘れる。

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