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無限級数の和の計算問題

無限級数の和を求める

この単元のポイント

公式と考え方

各項を，差の形に分解して，隣り合う項が打ち消しあうようにすると，部分和が簡単に求められ，無限級数の和が分かります。

  • 1n(n+1)=1n−1n+1\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1} のように，部分分数に分解します。
  • 部分和 SnS_n を求めて，lim⁡n→∞Sn\lim_{n\to\infty}S_n をとります。
  • 1n(n+2)=12(1n−1n+2)\dfrac{1}{n(n+2)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2}\right) のように，係数に注意します。
例題と解き方

∑n=1∞1n(n+1)\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+1)} を求めなさい。

  1. 部分和は Sn=(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)=1−1n+1S_n=\left(1-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)=1-\dfrac{1}{n+1} です。
  2. lim⁡n→∞Sn=1\lim_{n\to\infty}S_n=1 なので，和は1です。

∑n=1∞1n(n+2)\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+2)} を求めなさい。

  1. 1n(n+2)=12(1n−1n+2)\dfrac{1}{n(n+2)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2}\right) なので，Sn=12(1+12−1n+1−1n+2)S_n=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}\right) です。
  2. n→∞n\to\infty で，12⋅32=34\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{4} です。
よくある間違い
  • 部分分数分解の係数（12\dfrac{1}{2} など）を，忘れる。
  • 打ち消しあわずに残る項を，数え間違える。

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