数列の和と極限の計算問題

等差数列の和どうしの比の極限を求める

この単元のポイント

公式と考え方

等差数列の和どうしの比の極限は，和の公式で $n$ の式にしてから，分数式の極限として求めます。

等差数列の和 $S_n=\dfrac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}$ を， $n$ の式で表します。
比 $\dfrac{S_n}{T_n}$ を $n$ の分数式にして，最高次の項でわって，極限を求めます。
和の公式を使わずに，項を書き並べて極限を考えるのは，誤りのもとです。

例題と解き方

$S_n=1+2+\cdots+n$ ， $T_n=1+3+\cdots+(2n-1)$ のとき， $\lim_{n\to\infty}\dfrac{S_n}{T_n}$ を求めなさい。

$S_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ ， $T_n=n^2$ です。
$\dfrac{S_n}{T_n}=\dfrac{n+1}{2n}=\dfrac{1+\frac{1}{n}}{2}\to\dfrac{1}{2}$ です。

よくある間違い

和を $n$ の式にせず，極限を考えようとして，行き詰まる。
$T_n$ の公式で，項数を間違える。

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