無限級数の計算問題

無限数列の和 $a_1+a_2+a_3+\cdots$ を無限級数といいます。初項が0でない無限等比級数は，$|r|<1$ のときに限り，収束します。

• 部分和 $S_n=a_1+\cdots+a_n$ が有限の値 $S$ に収束するとき，無限級数は収束するといい，$S$ をその和といいます。
• 各項が0に近づくことは，級数が収束するための必要条件ですが，それだけでは十分ではありません。例えば $\dfrac{1}{n}\to 0$ ですが，$1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots$ は発散します。
• 初項 $a$，公比 $r$ の無限等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}$ は，$|r|<1$ なら収束し，和は $\dfrac{a}{1-r}$ です。
• $|r|\geqq 1$（$a\neq 0$）のときは，発散します。
• まず公比 $r$ を求めて，$|r|<1$ かどうか確かめます。

• 公比を確かめずに，$\dfrac{a}{1-r}$ を使ってしまう。
• $|r|<1$ の条件を，$r<1$ としてしまう。$r=-5$ は条件を満たしません。