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不定形（分数式）の計算問題

分数式で表された数列の極限を求める

この単元のポイント

公式と考え方

分数式で表された数列の極限は，分母の最高次の項で，分子と分母をわって求めます。

  • 分子・分母を，分母の最高次の項（たとえば n2n^2）でわります。
  • 1n\dfrac{1}{n}，1n2\dfrac{1}{n^2} などの項は，0に近づきます。
  • 分子の次数が小さいなら0，同じなら係数の比，大きいなら ±∞\pm\infty になります。
例題と解き方

lim⁡n→∞3n2+nn2−2\lim_{n\to\infty}\dfrac{3n^2+n}{n^2-2} を求めなさい。

  1. 分子・分母を n2n^2 でわります。3+1n1−2n2\dfrac{3+\frac{1}{n}}{1-\frac{2}{n^2}} です。
  2. 3+01−0=3\dfrac{3+0}{1-0}=3 です。

lim⁡n→∞2n+1n2+3\lim_{n\to\infty}\dfrac{2n+1}{n^2+3} を求めなさい。

  1. 分子・分母を n2n^2 でわります。2n+1n21+3n2\dfrac{\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{3}{n^2}} です。
  2. 01=0\dfrac{0}{1}=0 です。
よくある間違い
  • 分子と分母を同じ式でわらず，一部の項だけをわってしまう。分子・分母のすべての項を，同じ式でわります。
  • ∞∞=1\dfrac{\infty}{\infty}=1 としてしまう。

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