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三角関数の変形を利用した極限の計算問題

倍角公式などで変形し、sin x/xの基本極限に帰着させて求める

この単元のポイント

公式と考え方

倍角公式などで式を変形すると，sin⁡xx\dfrac{\sin x}{x} の基本極限に帰着させて，極限を求められます。

  • 1−cos⁡x=2sin⁡2x21-\cos x=2\sin^2\dfrac{x}{2} を使います。
  • 1−cos⁡xx2=2⋅14(sin⁡x2x2)2\dfrac{1-\cos x}{x^2}=2\cdot\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2 と変形できます。
  • 分母・分子をそれぞれ sin⁡\sin の形にして，sin⁡axsin⁡bx→ab\dfrac{\sin ax}{\sin bx}\to\dfrac{a}{b} も使えます。
例題と解き方

lim⁡x→01−cos⁡xx2\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2} を求めなさい。

  1. 1−cos⁡x=2sin⁡2x21-\cos x=2\sin^2\dfrac{x}{2} なので，2sin⁡2x2x2=12(sin⁡x2x2)2\dfrac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2 です。
  2. 12×12=12\dfrac{1}{2}\times 1^2=\dfrac{1}{2} です。

lim⁡x→0sin⁡2xsin⁡3x\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x} を求めなさい。

  1. 分母・分子を xx でわります。2⋅sin⁡2x2x3⋅sin⁡3x3x\dfrac{2\cdot\frac{\sin 2x}{2x}}{3\cdot\frac{\sin 3x}{3x}} です。
  2. 23\dfrac{2}{3} です。
よくある間違い
  • cos⁡x→1\cos x\to 1 を使って，1−1x2=0\dfrac{1-1}{x^2}=0 としてしまう。不定形です。
  • 変形のとき，x2\dfrac{x}{2} の分母の2を，かけ忘れる。

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