極限の計算(2)の計算問題

xが±∞に近づくときの多項式・分数関数の極限を求める

この単元のポイント

公式と考え方

$x\to\infty$ ， $x\to -\infty$ のときの，多項式や分数関数の極限は，最高次の項に注目して求めます。

多項式は，最高次の項でくくると，ふるまいが分かります。
$x\to -\infty$ では， $x^n$ は $n$ が奇数なら $-\infty$ ，偶数なら $+\infty$ に向かいます。項全体の符号は，係数も含めて判断します。
分数関数は，分母の最高次の項で，分子・分母をわります。

例題と解き方

$\lim_{x\to\infty}(x^2-3x)$ と $\lim_{x\to -\infty}(x^3+x)$ を求めなさい。

$x^2\left(1-\dfrac{3}{x}\right)\to\infty$ です。
$x^3\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)$ で， $x^3\to -\infty$ なので， $-\infty$ です。

$\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^2+x}{x^2+1}$ を求めなさい。

分子・分母を $x^2$ でわります。 $\dfrac{2+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^2}}$ です。
$2$ です。

よくある間違い

$x\to -\infty$ のときの，奇数次の符号を間違える。
分数関数で，分子と分母を同じ式でわらず，一部の項だけをわってしまう。

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