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角の移動を利用した極限の計算問題

x−πなどの置き換えで、sin t/tの基本極限に帰着させる

この単元のポイント

公式と考え方

x→πx\to\pi などで，00\dfrac{0}{0} になる極限は，t=x−πt=x-\pi のように置きかえて，t→0t\to 0 の形にすると，基本極限に帰着できます。

  • t=x−at=x-a とおくと，x→ax\to a は t→0t\to 0 になります。
  • sin⁡(t+π)=−sin⁡t\sin(t+\pi)=-\sin t，cos⁡(t+π2)=−sin⁡t\cos\left(t+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin t などの公式で，変形します。
  • 変形したら，sin⁡tt→1\dfrac{\sin t}{t}\to 1 を使います。
例題と解き方

lim⁡x→πsin⁡xx−π\lim_{x\to\pi}\dfrac{\sin x}{x-\pi} を求めなさい。

  1. t=x−πt=x-\pi とおくと，t→0t\to 0 で，sin⁡x=sin⁡(t+π)=−sin⁡t\sin x=\sin(t+\pi)=-\sin t です。
  2. −sin⁡tt→−1\dfrac{-\sin t}{t}\to -1 です。

lim⁡x→π2cos⁡xx−π2\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{x-\frac{\pi}{2}} を求めなさい。

  1. t=x−π2t=x-\dfrac{\pi}{2} とおくと，cos⁡x=cos⁡(t+π2)=−sin⁡t\cos x=\cos\left(t+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin t です。
  2. −sin⁡tt→−1\dfrac{-\sin t}{t}\to -1 です。
よくある間違い
  • 置きかえたあと，sin⁡(t+π)\sin(t+\pi) の符号を，間違える。
  • x→ax\to a を，t→at\to a のままにしてしまう。t→0t\to 0 です。

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