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分数関数の無限大での極限の計算問題

分子・分母の次数を比較して、分数関数の±∞での極限を求める

この単元のポイント

公式と考え方

分数関数の x→±∞x\to\pm\infty での極限は，分子と分母の次数を比べると，すぐに分かります。

  • 分子の次数 << 分母の次数：極限は 0 です。
  • 分子の次数 == 分母の次数：極限は，最高次の係数の比です。
  • 分子の次数 >> 分母の次数：±∞\pm\infty に発散します（符号は，最高次の項で決める）。
例題と解き方

lim⁡x→∞3x+1x2+2\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x+1}{x^2+2} と lim⁡x→∞3x2+12x2+x\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2+1}{2x^2+x} を求めなさい。

  1. 分子が1次，分母が2次なので，00 です。
  2. 次数が等しく，係数の比が 32\dfrac{3}{2} なので，32\dfrac{3}{2} です。

lim⁡x→−∞x3+1x+1\lim_{x\to -\infty}\dfrac{x^3+1}{x+1} を求めなさい。

  1. x3+1x+1=x2−x+1\dfrac{x^3+1}{x+1}=x^2-x+1 です。
  2. x→−∞x\to -\infty で，x2→∞x^2\to\infty なので，∞\infty です。
よくある間違い
  • 次数が等しいときに，極限を0としてしまう。係数の比です。
  • 分子の次数が高いときに，0に収束すると思ってしまう。

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