第2次導関数を用いる等式の証明の計算問題

導関数を代入し，sin・cosの係数がともに0になるように整理します。

この単元のポイント

公式と考え方

導関数を代入し，sin・cosの係数がともに0になるように整理します。

eのax乗と三角関数の積を2回微分します。
同じ三角関数の項をまとめて係数を比べます。
等式がすべてのxで成り立つことを，残りの項が消える計算で示します。

例題と解き方

$y=e^x\sin x$ について $y''-2y'+2y=0$ を示しなさい。

$y'=e^x(\sin x+\cos x)$ です。
$y''=2e^x\cos x$ です。
代入すると $2e^x\cos x-2e^x(\sin x+\cos x)+2e^x\sin x=0$ です。

よくある間違い

特定のxを代入して0になっただけでは恒等式の証明にはなりません。
eˣの微分からも項が出ることを忘れないようにします。

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