ガウス記号の関数の連続性と微分可能性の計算問題

整数部分が変わる点で，関数の極限と差商の極限を分けて確認します。

この単元のポイント

公式と考え方

整数部分が変わる点で，関数の極限と差商の極限を分けて確認します。

⌊x⌋はx以下の最大の整数です。
0のすぐ左では⌊x⌋=−1，すぐ右では0です。
関数値にxを掛けると連続になっても，差商の段差は残る場合があります。

例題と解き方

$f(x)=x\lfloor x\rfloor$ のx=0での性質を調べなさい。

0の近くでは $-|x|\le f(x)\le |x|$ なので $f(x)\to0=f(0)$ です。
差商は $f(h)/h=\lfloor h\rfloor$ です。
左極限−1と右極限0が一致せず，連続ですが微分不可能です。

よくある間違い

−0.1の整数部分を0としないようにします。
f(x)の極限だけで微分可能とは判断できません。

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