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根号を含む媒介変数表示の微分の計算問題

x(t)の根号を合成関数として微分し，dy/dtとの比を取ります。

この単元のポイント

公式と考え方

x(t)の根号を合成関数として微分し，dy/dtとの比を取ります。

  • √(1−t²)の微分は−t/√(1−t²)です。
  • 根号の微分が使える−1<t<1で計算します。
  • さらにdx/dtが0になるt=0は比の公式から除きます。
例題と解き方

x=1−t2x=\sqrt{1-t^2}，y=t2+1y=t^2+1 のdy/dxを求めなさい。

  1. dx/dt=−t/√(1−t²)，dy/dt=2tです。
  2. 比を取りtを約分します。
  3. dy/dx=−21−t2dy/dx=-2\sqrt{1-t^2}（−1<t<1，t≠0）です。
よくある間違い
  • dx/dtの分子の負号を落とさないようにします。
  • tを約分した後も，ここで使った公式のt≠0の条件は残します。

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