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eの定義を用いる極限の計算問題

底の1からの増分と指数の積に注目して，極限をeのべきで表します。

この単元のポイント

公式と考え方

底の1からの増分と指数の積に注目して，極限をeのべきで表します。

  • lim⁡u→0(1+u)1/u=e\lim_{u\to0}(1+u)^{1/u}=e を使います。
  • 底が正になる範囲で置き換えを行います。
  • 元の指数と増分uの積の極限が，eの指数になります。
例題と解き方

lim⁡x→∞(1−1/(2x))x\lim_{x\to\infty}(1-1/(2x))^x を求めなさい。

  1. u=−1/(2x)とおくとu→0で，x=−1/(2u)です。
  2. (1+u)x=((1+u)1/u)−1/2(1+u)^x=((1+u)^{1/u})^{-1/2} です。
  3. したがって極限は e−1/2e^{-1/2} です。
よくある間違い
  • 増分が負なのでeの指数にも負号が付きます。
  • 1の無限大乗という見た目だけで1とは判断できません。

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