媒介変数表示の第1次・第2次導関数の計算問題

第1次導関数をtで微分した後，もう一度dx/dtで割ります。

この単元のポイント

公式と考え方

第1次導関数をtで微分した後，もう一度dx/dtで割ります。

dy/dxはyₜ/xₜです。
第2次導関数は $(d/dt)(dy/dx)/(dx/dt)$ です。
tで2回微分した値を割るだけの公式ではありません。

例題と解き方

$x=\cos t+t\sin t$ ， $y=\sin t-t\cos t$ の第1次・第2次導関数を求めなさい。

dx/dt=t cos t，dy/dt=t sin tです。
t cos t≠0でdy/dx=tan tです。
tan tをtで微分して1/cos²t，さらにt cos tで割ります。
$d^2y/dx^2=1/(t\cos^3t)$ です。

よくある間違い

d²y/dx²をyₜₜ/xₜₜとしないようにします。
dy/dxでtを約分した後もt≠0の条件が必要です。

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