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三角関数のべきの第3次導関数の計算問題

積・合成関数を繰り返し微分するか，三倍角で和に直して計算します。

この単元のポイント

公式と考え方

積・合成関数を繰り返し微分するか，三倍角で和に直して計算します。

  • cos³x=(cos3x+3cos x)/4と変形できます。
  • cosを3回微分するとsinへ戻り，符号は正です。
  • cos3xでは角の係数3が3回掛かります。
例題と解き方

y=cos⁡3xy=\cos^3x の第3次導関数を求めなさい。

  1. y=(cos⁡3x+3cos⁡x)/4y=(\cos3x+3\cos x)/4 と直します。
  2. y′=(−3sin⁡3x−3sin⁡x)/4y'=(-3\sin3x-3\sin x)/4，y′′=(−9cos⁡3x−3cos⁡x)/4y''=(-9\cos3x-3\cos x)/4 です。
  3. y(3)=(27sin⁡3x+3sin⁡x)/4y^{(3)}=(27\sin3x+3\sin x)/4 です。
よくある間違い
  • 三倍角の係数は3回の微分で27になることを確認します。
  • 3階でcosのままにすると微分の回数が合いません。

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