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根号を含む和・差の平方の計算問題

平方の公式は，整数と根号を含む式にも使えます。

この単元のポイント

公式と考え方

整数と平方根を含む2項式の平方は，平方の公式を使って3つの項へ分けます。根号の平方は整数になり，交差する積の2倍には根号が残ります。

  • (U+V)2=U2+2UV+V2(U+V)^2=U^2+2UV+V^2，(U−V)2=U2−2UV+V2(U-V)^2=U^2-2UV+V^2 を使います。
  • UやVが係数付きの根号なら，係数も根号も含めて全体を2乗します。
  • 差の平方でも最後の V2V^2 は正です。中央の符号だけを和の場合から変えます。
例題と解き方

(5+2)2(5+\sqrt2)^2 を計算しなさい。

  1. 公式に当てはめ，(5+2)2=25+102+2(5+\sqrt2)^2=25+10\sqrt2+2 と展開します。
  2. 整数の項をまとめると，25+102+2=27+10225+10\sqrt2+2=27+10\sqrt2 です。

(23−1)2(2\sqrt3-1)^2 を計算しなさい。

  1. (23)2=12(2\sqrt3)^2=12 を使い，(23−1)2=12−43+1(2\sqrt3-1)^2=12-4\sqrt3+1 とします。
  2. 定数を足して，12−43+1=13−4312-4\sqrt3+1=13-4\sqrt3 です。
よくある間違い
  • (5+√2)²を25+2だけで計算すると，中央の10√2が抜けます。
  • (2√3)²を6とせず，係数2も2乗して4×3=12とします。

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