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平方根の範囲を満たす自然数の計算問題

正の範囲で平方根を挟む不等式は,各辺を2乗して自然数を探せます。

この単元のポイント

公式と考え方

平方根が指定された正の2数の間に入るように,根号の中の自然数を探します。各辺を2乗した後,等号を含まない境界に注意して整数を列挙します。

  • 0≤L<a<U0\le L<\sqrt a<U なら L2<a<U2L^2<a<U^2 に直せます。正の範囲で2乗の大小が保たれるためです。
  • 2乗した境界が小数になったら,その間にある最初と最後の整数を別々に決めます。
  • 条件を満たす値をすべて答える問題では,両端だけでなく途中の自然数も書きます。
例題と解き方

3.5<a<4.53.5<\sqrt a<4.5 を満たす自然数aをすべて求めなさい。

  1. 各辺を2乗し,12.25<a<20.2512.25<a<20.25 とします。
  2. 12.25を超える最初の整数は13,20.25未満の最後の整数は20です。
  3. 答えは a=13,14,15,16,17,18,19,20a=13,14,15,16,17,18,19,20 です。
よくある間違い
  • 根号の中のaまで3.5と4.5の間と考え,a=4だけにしないようにします。
  • 20.25未満だから20を除くのではなく,20も条件内にあることを確認します。

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